다익스트라 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍을 활용한 최단경로탐색 알고리즘입니다.

 

이전에 배운 크루스칼 알고리즘은 최소비용 신장트리이다. 

다른점은 크루스칼은 모든정점이 연결될 때의 최소비용이고

다익스트라는 특별한 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로다.

 

즉 크루스칼은 모든 정정이 연결만 되면 되는 경우이고,

다익스트라는 어떤 정점을 기준으로 모든 정점을 도착지점으로 했을 때 갈 수 있는 최소비용을  구하는 것이다.

 

다익스트라 알고리즘은 특정한 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구합니다.

이때 음의간선은 포함할 수 없는데 이것이 다익스트라가 현실세계에서 사용하기 매우 적합한 알고리즘 중 하나입니다.

 

다익스트라가 다이나믹 프로그래밍이기도 하고, 그리디 알고리즘으로 분류되기도 한다.

다이나믹 프로그래밍 문제인 이유는 최단거리는 여러개의 최단거리로 이루어져 있기 때문입니다.

다익스트라의 특징은 하나의 최단 거리를 구할 때 그 이전 까지 구했던 최단 거리 정보를 그대로 사용한다는 점이다.

 

기본적으로 노드 1부터 갈 수있는 노드의 최단거리를 산정해야한다. 

1에서는 2와 4, 5를 갈 수 있다.

컴퓨터는 하나씩 계산할 수 밖에 없습니다.

그래서 1에서 2로 가는 최소비용은 5입니다. 거리가 6이기 때문입니다.

 

이제 1에서 갈 수 있는 최소비용중 가장 최단 거리는 3이므로 다음 노드는 4를 처리하게 된다.

이때 컴퓨터는 1 -> 5의 비용이 12인데 1 -> 4 -> 5의 비용은 10으로 더 저렴하다는 것을 알 게 됩니다.

이 때 현재까지 컴퓨터가 알고있던 5로 가는 최소비용 12를 새롭게 10으로 갱신하는 것입니다.

즉 현재까지 알고 있던 최단 경로를 계속해서 갱신합니다.

 

 

 

구체적인 작동과정

1. 출발노드 설정
2. 출발노드를 기준으로 각 노드의 최소비용을 저장
3. 방문하지 않은 노드 중에서 가장 비용이 적은 노드를 선택
4. 해당 노드를 거쳐서 특정한 노드로 가는 경우를 고려하여 비용을 갱신
5. 3 ~ 4번 과정을 반복

 

이 그래프를 이용해보자. 이러한 그래프느 실제로 컴퓨터에서 처리할 때 이차원배열형태로 처리해야한다.

배열의 값은 행에서 열로 가는 비용을 의미한다.

0	4	7	3	Infinity	Infinity	Infinity
4	0	Infinity	Infinity	Infinity	3	Infinity
7	Infinity	0	2	3	2	Infinity
3	Infinity	2	0	4	Infinity	Infinity
Infinity	Infinity	3	4	0	Infinity	5
Infinity	3	2	Infinity	Infinity	0	4
Infinity	Infinity	6	Infinity	5	4	0

1행 2열은 1에서 2로가는 비용을 적은 것이다.

 

 

---

 

 

이제 1 노드를 선택하고 그에 연결된 간선 3개를 확인한 상태이다. 1번에서 다른 노드로 가는 정점의 최소비용은 다음과 같다. (현재  주황색 배경이 방문했다는 뜻이다.)

0

4

7

3

Infinity

Infinity

Infinity

 

 

 

---

 

현재 방문하지 않은 노느중에서 가장 비용이 적은 노드는 4번이다.

그래서 다음 노드는 4번 노드가 선택된다.

이제 1에서 4로가는 비용 3을 받아서 노드 3과 5로 가는 비용에 더한다.

그러면 1 -> 4 - > 3의 비용은 5가되고

1 -> 4 -> 5 의 비용은 7이 된다.

이때 1에서 3번을 가는 비용과 5번을 가는 비용을 확인한다.

1에서 3으로 가는 비용은 7로 1->4->3의 비용 5가 저렴하므로 5로 갱신된다.

1에서 5로가는 비용은 infinity로 1->4->5의 비용 7이 저렴해 7로 갱신된다.

0

4

5

3

7

Infinity

Infinity

 

---

 

 

 

이제 그 다음에 다시 1에서 방문하지 않은 노드 중 비용이 가장 적은 노드는 2번노드이다.

만약 노드 방문하지 않은 노드 중 가장 적은 비용이 드는 노드가 두 개 이상이라면 앞에 있는 노드부터 차례로한다.

이때 2번노드로 갈 수 있는 노드는 6번으로

1번에서 비용 4를 받아와 3에 더한다.

그럼 1->6번으로 가는 비용은 infinity에서 7로 갱신된다.

0

4

5

3

7

7

Infinity

 

 

---

 

다음으로 방문하지 않은 노드중에서 가장 비용이 적은 노드는 3번째 노드이다.

3번에서는 5번 6번7 번을 갈 수있다.

3번으로 갈 수 있는 최소 비용은 5이다.

이제 이제 3번노드를 거쳐서 6을 가는 비용을 계산해보자.

5 + 2 = 7 이다.

기본에 1에서 2번노드를 거쳐 가는 비용이 7로 갱신되어있었다.

같으므로 패스한다.

 

그리고 3번노드를 거쳐서 6을 가는 비용을 계산하자

5 + 2 =7 이다.

기존에 1번에서 6번노드로 가는 비용이 7로 같다.

같으므로 패스한다.

 

이제 3번노드를 거쳐 7번으로 가는 비용을 계산한다.

5 + 6 = 11이다.

기존에 1번에서 7번노드로 가는 값은 infinity로 11보다 크다.

11이 작으므로 11로 갱신해준다.

 

0

4

5

3

7

7

11

 

 

---

 

다음으로 방문하지 않은 노드중 가장 작은 비용은 5번노드와 6번노드이다. 이때 앞에서부터 선택하여 5번노드가 다음노드가 된다.

 

5번노드에서 갈 수 있는 노드는 7번노드이다.

5번노드를 거쳐서 7번노드로 가는 비용은 

7 + 5 =12 이다.

기존의 값 11보다 비싸므로 패스한다.

0

4

5

3

7

7

11

 

---

 

다음으로 가장 작은 비용인 6번노드가 선택된다.

6번노드에서 갈 수 있는 노드는 7번이다.

6번노드를 거쳐서 7번노드로 가는 비용은 

7 + 4 = 11이다.

1에서 7번노드로 가는 값이 현재 11이므로 같으니까 패스한다.

 

0

4

5

3

7

7

11

---

 

 

이제 마지막 7번노드를 선택한다.

 

노드를 방문한 뒤에도 결과는 같으므로 최종 배열은 다음과 같습니다.

0

4

5

3

7

7

11

이 값이 1에서부터 출발해서 각각 노드로 갈 수 있는 최소비용이 된다.

 

---

 

이제 코드로 작성해보자

 

let number = 7 //정점의 갯수
let INF = 10000000; //무한대의 값 초기화

//전체 그래프를 초기화한다.
const arr = [
	[ 0 , 4, 7, 3, INF, INF, INF],
    [ 4, 0, INF, INF, INF, 3, INF],
    [ 7, INF, 0, 2, 3, 2, INF],
    [3, INF, 2, 0, 4, INF, INF],
    [INF, INF, 3, 4, 0, INF, 5],
    [INF, 3, 2, INF, INF, 0, 4],
    [INF, INF, 6, INF, 5, 4, 0]
];
//방문됐는지 확인하는 배열
const isVisit = Array.from({length:7},()=>false);
//최단거리를 저장할 배열
var d = Array.from({length:7},()=>0);

//가장 최소 거리를 가지는 정점을 반환한다.
//방문할 노드를 정하는 로직(앞에서부터 한개씩 검사해서 가장 비용이 적은 노드를 찾음
//선형탐색
const getMin = function(v){
	let min =INF;
    let idx=0;
    for(let i=0;i<number;i++){
    	//방문하지 않은노드 중에서 현재 최소값보다 더 작으면 그값이 min이된다.
    	if(min>d[i] && !isVisit[i]){ 
        	min=d[i];
            //그리고 그때의 위치를 기억한다.
            idx=i;
         }
     }
     return idx;
 }
 
 //다익스트라를 수행하는 함수
 //특정한 정점에서 다른 노드로 갈 수 있는 최소비용을 구하는 로직
 
 const dist = function(start){
 	//방문한 노드에서 갈 수있는 모든 정점의 거리를 저장
 	for(var i=0;i<number;i++){
    	d[i]=arr[start][i];
    }
    //시작점은 방문을 했음을 저장
 	isVisit[start]=true;
    //number-2까지 가면서
    for(var i=0;i<number-2;i++){
    	//현재 갈 수 있는 정점중 가장 비용이 적은 노드 저장
    	let current = getMin();
        //그 노드 방문처리
        isVisit[current]=true;
        //그 노드에 인접한 모든 노드를 확인하면서
    	for(var j=0;j<number;j++){
        	//방문하지 않은 노드라면
           if(!isVisit[j]){
                //start에서 방문한 노드까지의 거리 + 방문한 노드에서 갈 수있는 정점의 거리 
                //즉 1이 start면 1 -> 3 -> 4 
                //그리고 start에서 방문한 노드에서 갈 수있는 정점의 거리를 비교
                //즉 1-> 4
                if(d[current]+arr[current][j] < d[j]){
                	d[j] = d[current] + arr[current][j]; //만약 기존께 크면 갱신
				}
           }
    	}
    }
    
}

dist(0);
for(var i=0;i<number;i++){
	console.log(d[i]);
}

 

하지만 실제로 이걸 사용하면 선형탐색이라서 O(N^2)이 된다.

 

최대한 빠르게 작동시켜야하므로 힙 구조를 이용해야한다.

 

// 0번 노드는 사용하지 않는 빈 노드이다.
// 이는 시작 노드를 1번으로 설정하기 위함이다.
const graph = [
  [], // 사용X
  [	
  	{ to: 4, dist: 3 },//1에서 4
    { to: 2, dist: 4 }, //1에서 2 
    { to: 3, dist: 7 }, //1에서 3
  ],
  [
  	
    { to: 6, dist: 3 } //2에서 6

  ],
  [
    { to: 5, dist: 3 }, //3에서 5
    { to: 6, dist: 2 },//3에서 6
    { to: 7, dist: 6 },//3에서 7
  ],
  [
    { to: 3, dist: 2 },//4에서 3
    { to: 5, dist: 4 },//4에서 5
  ],
  [
    { to: 3, dist: 3 },//5에서 3
    { to: 7, dist: 5 }, //5에서 7

  ],
  [
    { to: 3, dist: 2 },//6에서 3
    { to: 7, dist: 4 }, //6에서 7

  ],
  [
    { to: 3, dist: 4 },//7에서 3
    { to: 6, dist: 6 }, //7에서 6
	{ to: 5, dist: 5 },//7에서 5
    
  ],
];

// 1번 노드와 각 노드까지 최단 경로를 저장하는 배열 생성
const dist = Array(graph.length).fill(Infinity);

// 큐 생성 및 1번 노드에 대한 정보 저장
//1에서 1은 0이니까
const queue = [{ to: 1, dist: 0 }];

// 1번 노드의 거리는 0 으로 설정
//1에서 1은 0이ㅣㄴ까
dist[1] = 0;

// 큐가 빌 때까지 반복
while (queue.length) {
  // 큐에서 방문할 노드 꺼내기
  const { to } = queue.pop();

  // 방문한 노드까지 이동한 거리 + 다음 방문 노드까지 거리를
  // 기존에 저장된 값과 비교해서 갱신
  //1에있느 2,3,4 순회
  graph[to].forEach((next) => {
	//acc는 1의 dist값과 1->2의 dist값을 더함 
    const acc = dist[to] + next.dist;
    if (dist[next.to] > acc) {//만약 dist[1]의 값이 1에서 2의 경로값보다 크면
      dist[next.to] = acc; //dist[2]을 갱신해줌
      // 최단 경로가 되는 노드는 큐에 추가
      // 최단경로인 이유는 갱신을 해줬으니까 가장 가깝다는 소리
      //그래서 그 경로를 queue에 넣어줌
      queue.push(next);
    }
  });
}console.log(dist)

 

 

 

연습문제

https://school.programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/12978

프로그래머스

 

배달

N개의 마을로 이루어진 나라가 있습니다. 이 나라의 각 마을에는 1부터 N까지의 번호가 각각 하나씩 부여되어 있습니다. 각 마을은 양방향으로 통행할 수 있는 도로로 연결되어 있는데, 서로 다른 마을 간에 이동할 때는 이 도로를 지나야 합니다. 도로를 지날 때 걸리는 시간은 도로별로 다릅니다. 현재 1번 마을에 있는 음식점에서 각 마을로 음식 배달을 하려고 합니다. 각 마을로부터 음식 주문을 받으려고 하는데, N개의 마을 중에서 K 시간 이하로 배달이 가능한 마을에서만 주문을 받으려고 합니다. 다음은 N = 5, K = 3인 경우의 예시입니다.

위 그림에서 1번 마을에 있는 음식점은 [1, 2, 4, 5] 번 마을까지는 3 이하의 시간에 배달할 수 있습니다. 그러나 3번 마을까지는 3시간 이내로 배달할 수 있는 경로가 없으므로 3번 마을에서는 주문을 받지 않습니다. 따라서 1번 마을에 있는 음식점이 배달 주문을 받을 수 있는 마을은 4개가 됩니다.
마을의 개수 N, 각 마을을 연결하는 도로의 정보 road, 음식 배달이 가능한 시간 K가 매개변수로 주어질 때, 음식 주문을 받을 수 있는 마을의 개수를 return 하도록 solution 함수를 완성해주세요.

제한사항

• 마을의 개수 N은 1 이상 50 이하의 자연수입니다.
• road의 길이(도로 정보의 개수)는 1 이상 2,000 이하입니다.
• road의 각 원소는 마을을 연결하고 있는 각 도로의 정보를 나타냅니다.
• road는 길이가 3인 배열이며, 순서대로 (a, b, c)를 나타냅니다.
  • a, b(1 ≤ a, b ≤ N, a != b)는 도로가 연결하는 두 마을의 번호이며, c(1 ≤ c ≤ 10,000, c는 자연수)는 도로를 지나는데 걸리는 시간입니다.
  • 두 마을 a, b를 연결하는 도로는 여러 개가 있을 수 있습니다.
  • 한 도로의 정보가 여러 번 중복해서 주어지지 않습니다.
• K는 음식 배달이 가능한 시간을 나타내며, 1 이상 500,000 이하입니다.
• 임의의 두 마을간에 항상 이동 가능한 경로가 존재합니다.
• 1번 마을에 있는 음식점이 K 이하의 시간에 배달이 가능한 마을의 개수를 return 하면 됩니다.

---

입출력 예NroadKresult

5	[[1,2,1],[2,3,3],[5,2,2],[1,4,2],[5,3,1],[5,4,2]]	3	4
6	[[1,2,1],[1,3,2],[2,3,2],[3,4,3],[3,5,2],[3,5,3],[5,6,1]]	4	4

입출력 예 설명

입출력 예 #1
문제의 예시와 같습니다.

입출력 예 #2
주어진 마을과 도로의 모양은 아래 그림과 같습니다.

1번 마을에서 배달에 4시간 이하가 걸리는 마을은 [1, 2, 3, 5] 4개이므로 4를 return 합니다.

 

function solution(N, road, K) {
    var arr=Array.from({length:N+1}, ()=>Array(0).fill());
    road.forEach((x,i)=>{{
        var [sT,eD,Len] = x;

        arr[sT].push({to:eD,dist:Len});
        arr[eD].push({to:sT,dist:Len});
        //반대로 오는 상황도 sT랑 eD바꾸는 방법을 쓰는게아니고
        //반대의 상황도 같이 배열에 넣어야한다


    }})
    console.log(arr)

    const dist = Array(N+1).fill(Infinity);
    const queue=[{to:1,dist:0}];
    dist[1]=0;
    while(queue.length){
        const { to } = queue.pop();

        arr[to].forEach((x)=>{    
            const acc=dist[to]+x.dist;
            if(dist[x.to]>acc){
                dist[x.to]=acc
                queue.push(x)
            }


        })
    }
    var ans=dist.filter(x=>x<=K)
    return ans.length;
}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

출처

https://blog.naver.com/ndb796/221234424646

23. 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

https://han-joon-hyeok.github.io/posts/dijkstra-algorithm/

다익스트라 알고리즘 개념 정리 및 구현 (JavaScript)